16
Май
2022

Геометрия • Re: Теорема Наполеона

Многие знают эту теорему. Она удивительная! Как и теорема Морли.
Итак, теорема Наполеона: Задан произвольный треугольник ABC. На его сторонах, но вовне строим равносторонние треугольники. Соединяем центры тяжести этих равносторонних и в результате образуется тоже новый равносторонний треугольник.
Существует много геометрическмз доказательств. Я решил проверить чисто аналитически, задаваясь произвольными координатами вершин.

исходные данные четырех точек вершин (последняя повторяет первую - так для проги проще):

4
11 3.8
9.05 11.5
16.7 9.45
11 3.8

текст проги:

open #1,"nap.txt","r"
dim x(10),y(10),x0(10),y0(10),L(10)
print " 1"
input #1 n
for i=1 to n
input #1 x(i),y(i)
print x(i),y(i)
sx=sx+x(i):sy=sy+y(i)
next i
xx0=sx/n:yy0=sy/n
print " 2"
print xx0,yy0
print " 3"
for i=1 to n-1
x1=x(i):y1=y(i)
x2=x(i+1):y2=y(i+1)
t2(a)
l1=sqrt((x0-xx0)^2+(y0-yy0)^2)
t1(a)
l2=sqrt((x00-xx0)^2+(y00-yy0)^2)
if l1>l2 then x0(i)=x0:y0(i)=y0:fi
if l1<=l2 then x0(i)=x00:y0(i)=y00:fi
if i=n then x0(n)=x0(1) and y0(n)=y0(1):fi
print i,x0(i),y0(i)
next i
x0(n)=x0(n-1):y0(n)=y0(n-1)
x0(n)=x0(1):y0(n)=y0(1)
for i=1 to n-1
L(i)=sqrt((x0(i)-x0(i+1))^2+(y0(i)-y0(i+1))^2)

print L(i) using "#####.#####"
next i

sub t2(a)
x0=1/2*(x1+x2+(y2-y1)/sqrt(3))
y0=1/2*(y1+y2-(x2-x1)/sqrt(3))
end sub

sub t1(a)
x00=1/2*(x1+x2-(y2-y1)/sqrt(3))
y00=1/2*(y1+y2+(x2-x1)/sqrt(3))
end sub

Результат:

1
11 3.8
9.05 11.5
16.7 9.45 координаты вершин трекгольника
11 3.8

2
11.9375 7.1375 - среднеарифметическая координата центра исходного треугольника

3

1 7.8022 7.08708
2 13.4668 12.6834 координаты центров тяжести построенных равностор. треуг.
3 15.481 4.97955

4

7.96278
7.96278 длины сторон получившегося треугольника
7.96278

Действительно, все стороны равны! Он равносторонний!. Хочу исследовать другие исходные фигуры. Пока что такого чуда не наблюдается (если многоугольники неправильные).

Read Full Article