Школьная физика • Re: Найти максимальную скорость планеты

revos
ferma-T
Не очень понимаю «наезды».

revos, да, я не читаю рукописные каракули ни свои, ни чужие, ну, если там не больше 1-2 строк. Это напоминает мне послеобеденные лекции . У ferma-T часто очень пространные посты, разбираться в которых не всегда хочется.

На самом деле, «лобовое» решение оказывается самым поучительным. Оно не использует ни энергию, ни момент импульса, ни их сохранение. Не нужно даже никаких других планет. Надо было сразу его и привести.

[math]\mathbf{R}=x\mathbf{e}_x+y\mathbf{e}_y~-~[/math] радиус-вектор массы [math]~m\quad\Rightarrow\quad
\mathbf{\ddot R}=\ddot x\mathbf{e}_y+\ddot y\mathbf{e}_y~-~[/math] ускорение массы [math]~m[/math].

[math]m\mathbf{\ddot{R}}=-\alpha mM\cdot\mathbf{R}
\quad\Rightarrow\quad
\left\{\begin{array}{}
\ddot x = -\alpha M\cdot x \\
\ddot y = -\alpha M\cdot y \\
\end{array}\right.

\quad\Rightarrow\quad
\quad\omega^2=\alpha M\quad
\quad\Rightarrow\quad

\left\{\begin{array}{}
x = C_1\sin\omega t+C_2\cos\omega t \\
y = C_3\sin\omega t+C_4\cos\omega t \\
\end{array}\right.[/math]

Продвинутые (похоже, что это задачка для них) должны знать решение ДУ гармонических колебаний, и то, что общее решение представляет собой параметрическое уравнение эллипса с центром в [math]~M[/math].

Всё !!![math]~~[/math] Раскрыта тайна эллиптичности, периодичности и изохронности, [math]~~\mathbf{T=\frac{2\pi}{ \boldsymbol{\omega} }=\frac{2\pi}{\sqrt{ \boldsymbol{\alpha} M}}=\mathbf{const}},~~[/math] орбит.
Ньютон рУлит !!!

Пусть траектория проходит через [math]~~(a,0),~t=0~~[/math] и [math]~~(0,b),~t=\frac{T}{4}.~~[/math] Тогда [math]~C_2=a,~C_3=b,~C_1=C_4=0
\quad\Rightarrow\quad[/math]

[math]x=a\cos\omega t,~~y=b\sin\omega t
\quad\Rightarrow\quad
v^2=\dot x^2+\dot y^2=a^2\omega^2\sin^2\omega t+
b^2\omega^2\cos^2\omega t. \qquad[/math] Чуть-чуть тригонометрии, и

[math]v^2=\frac{\omega^2}{2}\left[ a^2+b^2+(b^2-a^2)\cos2\omega t\right]
\quad\Rightarrow\quad
\omega\cdot\min(a,b)\leqslant v \leqslant \omega\cdot\max(a,b)[/math]

Надеюсь, это шутка. Задачка слишком уж проста. У меня есть сомнения насчет применения в школе момента импульса, но продвинутые, наверное, должны хоть что-то знать. Для этого я и привел «общее» решение, из которого следует всё, используя только законы Ньютона. Еще не ясно, что будет проще: тупо решать очередную систему импульсов и энергий, или решать в «лоб».

Частично я уже, где-то в начале, говорил об этом. Но условия этой задачки напомнили мне другую. Это не совсем задача, скорее, это «пораскинуть мозгами» . Может, сегодня напишу.