Дискуссионные математические проблемы • Re: Структура пространства пифагоровых троек

Пифагорова тройка [math]a^2+b^2=c^2[/math] является аддитивным соотношением. Будет показано как получить 4 числа, мультипликативное соотношение которых однозначно определяет пифагорову тройку.

Воспользуемся общеизвестным представлением пифагоровых троек

[math]\left\{\!\begin{aligned}
& a=m^2-n^2 \\
& b=2mn \\
& c=m^2+n^2
\end{aligned}\right.[/math] и вычислим величины [math]\left\{\!\begin{aligned}
& ut=c-a=2n^2=2n \cdot n \\
& v \tau =c-b=(m-n)^2=(m-n) \cdot (m-n) \\
& vt=a+b-c=2n \cdot (m-n)
\end{aligned}\right.[/math]

Непосредственно видно, что

НОД [math](c-a,\ a+b-c)=2n[/math]
НОД [math](c-b,\ a+b-c)=m-n[/math]

Величины [math]v,\ t,\ u,\ \tau[/math] можно обозначить двумя способами, это даст одинаковый результат

[math]\left\{\!\begin{aligned}
& v=m-n \\
& \tau =m-n \\
& u=n \\
& t=2n
\end{aligned}\right.[/math] или [math]\left\{\!\begin{aligned}
& v=2(m-n) \\
& \tau =m-n \\
& u=n \\
& t=n
\end{aligned}\right.[/math]

Тогда исходные величины [math]a,\ b,\ c[/math] примут вид

[math]\left\{\!\begin{aligned}
& a=v \tau +vt \\
& b=vt+ut \\
& c=v \tau +vt+ut
\end{aligned}\right.[/math]

Подставив их в уравнение пифагоровой тройки [math]a^2+b^2=c^2[/math] и решив его мы получим мультипликативное условие существования пифагоровой тройки

[math]vt=2u \tau[/math]

Обозначения выбраны не случайно - они имеют физический смысл: [math]v[/math] и [math]u[/math] означают дискретные скорости, а [math]\tau[/math] и [math]t[/math] - дискретные времена.
Чтобы это увидеть, нужно нужно обратиться к двум фактам:

1. [math]k^2[/math] это не только значение площади квадрата со стороной [math]k[/math] , но и площадь прямоугольного треугольника со сторонами [math]k[/math] и [math]2k[/math] .
2. Квадрат натурального числа является суммой ряда нечетных чисел: [math]k^2=\sum\limits_{1}^{k}(2k-1)[/math]

Геометрически это означает, что дискретный прямоугольный треугольник составленный из прямоугольников с основаниями длины [math]1[/math] и высотами равными последовательным нечетным числам начиная с [math]1[/math] при длине основания равной [math]k[/math] будет иметь площадь равную [math]k^2[/math] .
Интересным свойством этого треугольника является то, что длина его ступенчатой диагонали равна сумме длин его катетов. Этим же свойством обладает любая ступенчатая линия соединяющая противоположные концы катетов.

Вот пример дискретного прямоугольного треугольника с основанием длиной [math]c=13[/math] на который наложены два меньших треугольника - желтый с основанием длиной [math]a=5[/math] и синий с основанием длиной [math]b=12[/math] (их пересечение образует зеленый треугольник с основанием [math]a+b-c=4[/math] и площадью такой же как у незакрашенной части). Таким образом, площади этих треугольников образуют примитивную пифагорову тройку [math]5^2+12^2=13^2[/math] .

Обратим внимание на отрезки которыми составлено основание большого треугольника [math]c[/math] . На первом рисунке они расположены в порядке [math](c-b)+(a+b-c)+(c-a)=c[/math] , а на втором - в обратном ему [math](c-a)+(a+b-c)+(c-b)=c[/math] .

Поставим вопрос - можно ли передвигая эти отрезки конечное число тактов изменить порядок их следования с первого на второй?

Ответ дает полученное нами представление: отрезок длиной [math]a+b-c=vt[/math] проходит со скоростью [math]u[/math] расстояние [math]c-a=ut[/math] за те же [math]t[/math] тактов за которые отрезок [math]c-b=v \tau[/math] проходит расстояние [math]a+b-c=vt[/math] .

В приведенном примере

[math]ut=c-a=8[/math]

[math]v \tau =c-b=1[/math]

[math]vt=a+b-c=4[/math]

[math]t=[/math] НОД [math](ut,\ vt)=4[/math]

[math]v=[/math] НОД [math](v \tau,\ vt)=1[/math]

[math]u=t \slash 2=2[/math]

[math]\tau =v=1[/math]

Как видим, полученное мультипликативное соотношение [math]vt=2u \tau[/math] выполняется. По сути, оно определяет процедуру перемены мест слагаемых в пифагоровой тройке и означает следующее:

может существовать только такая пифагорова тройка в которой за время [math]t\in N[/math] может быть выполнена процедура перестановки слагаемых.

Позже я покажу как построить прямоугольную дискретную пирамиду объем которой равен [math]k^3[/math] , а площадь ее наклонной грани равна сумме площадей трех граней при прямом угле.
По аналогии с описанным выше прямоугольным дискретным треугольником, при трех острых вершинах подобной пирамиды можно отсечь три меньших пирамиды объемы которых также будут равны кубам и выполнят условие задачи о четырех кубах

[math]a^3+b^3+c^3=d^3[/math]

Однако условие существования кубической четверки, подобное условию существования пифагоровой тройки, еще предстоит найти.